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By Nicolas Bourbaki

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B) Déduire de a) et de la prop. 2 du no 4 une suite exacte O -t Ker (f) -t Ker (g O f ) -t Ker (g) -+ -+ Coker (f) -t Coker (g of) -+ Coker (g) -+ O. Donner une définition directe de cette suite exacte. 60 ALGÈBRE COMMUTATIVE chap. 1, 5 2 1) Donner un exemple d'une suite exacte O + N' -+ N -t N" -t O de A-modules à gauche et d'un A-module à droite E tels que E soit N'plat et N''-plat, mais non N-plat (prendre par exemple N' = N" = 2/22). 2) Soient M, N deux sous-modules d'un A-module E, tels que M N soit plat.

2). L'assertion (ii) résulte de (i) en prenant F = &/a, e t (iii) résulte de (ii) en prenant a = 10 Enfin, si m est un idéal à gauche maximal de A, on a 1. -1 p(Bm) = m en vertu de (ii), e t par suite Bm # B. , chap. 1, $ 8, no 7, th. 2) ; on a m c;(n) e t comme p ( l )e n , 2 n'appartient pas à-;(n). P a r suite$@) = m. Lorsque A et B vérifient les conditions de la prop. 8, on identifie d'ordinaire A à un sous-anneau de B a u moyen de p. COROLLAIRE. - SOUS les hypothèses de la prop. 8, s i B est nœthérien (resp.

Supposons donc c) vérifiée e t considérons une suite N' (1) : N -If N" d'homomorphismes de A-modules à gauche, et la suite correspondante a T(N) %T(N"). T(N1) (2) Si la suite (1) est exacte, ii en est de même de (2),puisque E est plat ( $ 2, no 3, prop. 1). Inversement, si (2) est exacte, on a d'abord T(w v) = T(w) 0 T(v) = O, donc w v = O par hypothèse. 0 0 -1 Posons 1 = v(N') et K = w(O) ; on a 1 c K d'après ce qui précède. Considérons la suite exacte i e t p étant les applications canoniques.

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