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By Conte A. (ed.)

Lecture notes in arithmetic No.947

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Man bezeichnet sie als flache Ordnung. Dieser Name wird einem klar, wenn man sich etwa das Lifting einer endlichen Menge {a1 , . . , an } als Hasse-Diagramm aufzeichnet. Es ist n¨amlich ⊥ das kleinste Element und alle anderen Elemente sind paarweise unvergleichbar. Zeichnerisch heißt dies, daß die einzigen Linien im Diagramm die zwischen ⊥ und den ai , 1 ≤ i ≤ n, sind. 1 Genaugenommen ist jede Menge geordnet, da die Gleichheitsrelation eine Ordnungsrelation ist. Statt von ungeordneten Mengen spricht man deshalb auch von trivial geordneten Mengen.

Definiert man auf der Menge N (G) der Normalteiler von G zwei Operationen und durch N N M M = = {xy | x ∈ N, y ∈ M} N ∩M Komplexprodukt Durchschnitt, so ist (N (G), , ) ein modularer Verband. Dies ist durch elementare Gruppentheorie relativ einfach nachzuweisen. 2. Weitere Beispiele f¨ ur modulare Verb¨ande, die aus der klassischen Algebra kommen, sind etwa die Untervektorr¨aume eines Vektorraumes (mit W + Z als der Supremumsbildung und W ∩ Z als der Infimumsbildung), die Ideale eines Ringes und die Teilmodule eines Moduls.

C von (a b) b c und b in der Menge Absorption Voraussetzung Absorption b und das Infimum b c von a (b c) und b ebenfalls in Das konkrete Hinschreiben von f und das Nachrechnen der Isomorphie-Gleichungen ist trivial und wird deshalb unterdr¨ uckt. ✷ In einem modularen Verband kann man zwei vergleichbare Elemente stets mittels eines beliebigen dritten Elements und , auf Gleichheit testen. Dies ist sogar charakteristisch f¨ ur modulare Verb¨ande, wie der nachfolgende Satz zeigt. 7 Satz Es sei (V, , ) ein Verband.

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