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By Dietlinde Lau

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Zun¨ achst aber eine Reihe von Bezeichnungen und Begriffe f¨ ur ungerichtete Graphen (mehr oder weniger Auswahl): Definitionen Sei G = (V (G), E(G), fG ) ein ungerichteter Graph, e ∈ E(G) und x, y ∈ V (G). Dann heißt bzw. ) • e verbindet x und y (bzw. e ist inzident zu x und y bzw. x (oder y) ist adjazent zu y (oder x)) :⇐⇒ fG (e) = {x, y}. Die Anzahl der Kanten, die mit einem Knoten x inzident sind, Grad von x in G genannt, wird mit d(x) bezeichnet. Dabei z¨ahlt man jede Schlinge als zwei Kanten!

Geschlossene) Eulersche Linie :⇐⇒ genau zwei Knoten von G haben ungeraden Grad (bzw. ∀x ∈ V (G) : d(x) ist gerade). Bewiesen wird dieser Satz im Band 2. Die nachfolgenden Verfahren zur Konstruktion von Minimalger¨ usten findet man ebenfalls im Band 2 ausf¨ uhrlich erl¨ autert. B. B. Gas, Strom, Dampf) versorgt werden sollen. Die Kosten f¨ ur die Herstellung m¨oglicher Leitungsverbindungen zwischen den Geb¨ auden seien bekannt. Wie findet man ein kostenoptimales Leitungsnetz, das alle Geb¨ aude versorgt, vorausgesetzt, daß eine 50 1 Mathematische Grundbegriffe Zuleitung pro Geb¨ aude gen¨ ugt und die L¨ ange des Weges von einer Energiequelle zum Geb¨ aude keine Rolle spielen soll?

A): Da B unendlich ist, gibt es in B ein Element a1 . Offenbar ist B = {a1 }, womit es in B ein von a1 verschiedenes Element a2 gibt. Wegen B = {a1 , a2 }, existiert ein a3 ∈ B\{a1 , a2 }. Setzt man diesen Prozeß fort, erh¨ alt man die abz¨ ahlbare Teilmenge {ai | i ∈ N} von B. A. sei A ⊆ C. 2 kann C\A weder endlich noch abz¨ ahlbar sein. Folglich ist C\A u ¨berabz¨ahlbar und enth¨ alt nach (a) eine abz¨ ahlbare Teilmenge N . Sei M := (C\A)\N . Dann gilt C\A = N ∪ M und C = (A ∪ N ) ∪ M . Zwischen den abz¨ahlbaren Mengen N und A ∪ N gibt es eine bijektive Abbildung.

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