Download Algebra Gruppen - Ringe - Körper by Christian Karpfinger PDF

By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einf?hrung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausf?hrlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bem?ht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisf?hrungen sind ausf?hrlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten f?hren Schritt f?r Schritt an die Ergebnisse heran und k?nnen durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingef?hrt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausf?hrlich erkl?rt und an Beispielen erprobt. Der Leser erh?lt dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel ?berpr?fen das Gelernte und f?rdern das tiefere Verst?ndnis der Theorie. Auf der web site zum Buch stehen ausf?hrliche L?sungsvorschl?ge zu den Aufgaben bereit.

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Es ist üblich, wenn eindeutig klar ist, mit welchem Modul n ∈ N gerechnet wird, die Restklassen mit a, a ∈ Z, zu bezeichnen, d. h. a = a + n Z = {a + n k | k ∈ Z} . Die Menge Z/n Z der Restklassen modulo n bezeichnen wir kürzer mit Zn : Zn = Z/n Z = {a + n Z | a ∈ Z} = {a | a ∈ Z} . Hat a ∈ Z bei Division durch n den Rest r, 0 ≤ r < n, dann gilt a = r; es gibt somit genau n verschiedene Restklassen r, 0 ≤ r < n: Zn = {0 , 1 , 2, . . , n − 1} , |Zn | = n . 1 auf Zn (Z modulo n Z): (a + n Z) + (b + n Z) = (a + b) + n Z mit dem Nullelement 0 = n Z und dem zu a = a + n Z negativen Element −a = −a = −a + n Z.

Vervollständigen Sie die nebenstehende Multiplikationstafel unter der Annahme, dass (G, ·) eine Gruppe ist. 2 Begründen Sie: (Z, +) ∼ = (n Z, +) für jedes n ∈ N. 3 Es sei G eine Gruppe. Man zeige: a b x y c x y z c b z x a x (a) Aut G = {Id} ⇒ G ist abelsch. (b) Ist a → a2 ein Homomorphismus, so ist G abelsch. (c) Ist a → a−1 ein Automorphismus, so ist G abelsch. 4 Man bestimme alle Automorphismen der Klein’schen Vierergruppe V . 5 Für n ∈ N sei En = {e n | k = 0, . . , n − 1} die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln (mit dem üblichen Produkt der komplexen Zahlen).

H. Division durch n mit Rest durchzuführen: a + b = q n + r, 0 ≤ r < n. 4 + 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Der Homomorphiesatz Jeder Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H liefert einen Gruppenisomorphismus: Es ist ϕ(G) ∼ = G/ Kern ϕ, d. h. das Bild von ϕ ist isomorph zur Faktorgruppe G modulo Kern ϕ. 10 (Homomorphiesatz) Es sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann sind Kern ϕ ein Normalteiler von G, ϕ(G) eine Untergruppe von H und die Abbildung ϕ: G/ Kern ϕ → ϕ(G) a Kern ϕ → ϕ(a) ein (wohldefinierter) Gruppenisomorphismus; somit gilt G/ Kern ϕ ∼ = ϕ(G) .

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