Download Algebra — aller Anfang ist leicht by Peter Göthner, Herbert Kästner PDF

By Peter Göthner, Herbert Kästner

"Gebranntes sort scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

Show description

Read Online or Download Algebra — aller Anfang ist leicht PDF

Best algebra books

Polynomial Automorphisms: and the Jacobian Conjecture

Influenced by way of a few infamous open difficulties, reminiscent of the Jacobian conjecture and the tame turbines challenge, the topic of polynomial automorphisms has develop into a quickly starting to be box of curiosity. This booklet, the 1st within the box, collects the various effects scattered during the literature. It introduces the reader to a desirable topic and brings him to the vanguard of analysis during this region.

Extra resources for Algebra — aller Anfang ist leicht

Example text

3. Äquivalenzrelationen 63 Bevor wir uns dem Beweis dieses Satzes zuwenden, wollen wir das Zusammenspiel zwischen Äquivalenzrelation und Zerlegung an Hand eines Beispiels illustrieren: Es seien M = N die Menge der natürlichen Zahlen und die Relation R in N definiert durch: xRy genau dann, wenn sich x und y höchstensin der letzten Ziffer unterscheiden. R ist eine Äquivalenzrelation, wie man sofort durch Überprüfen der drei Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität erkennt. Um zu sehen, in welche Klassen N bezüglich R zerfällt, bestimmen wir zu jedem x E N die Menge K x aller natürlichen Zahlen, die mit x in der Relation R stehen.

C) Aus A c:: B folgt Bq: A. d) Aus A ~ Bund A ~ C folgt B ~ C. 9. Man beschreibe die Menge A ('\ (Bv C), falls einer der folgenden Fälle eintritt: a) A ('\ B = 0, b) B = C, c) A ~ C, d) C = 0, e) A = 0. 10. Man ermittle A x B x C für A = {O; 2}, B = {I, 3, 5}, C = {2; 4}. Aus wieviel Elementen besteht A x B, wenn A eine Menge von r ElementeJ;l und B eine Menge von s Elementen ist? 11. Man beweise: A x C = B x C~ A = B für beliebige Mengen A, Bund C :f= 0. 12. WeIche der folgenden Abbildungen sind Funktionen?

So werden z. B. 16 Brüche, die durch Kürzen bzw. Erweitern auseinander hervorgehen. Natürlich umfaßt eine solche. Gleichwertigkeitsrelation die übliche Gleichheit, d. , jedes Element der Menge Mist sich selbst gleichwertig. Eine Relation R in M, die als Gleichwertigkeitsrelation zu gebrauchen sein soll, muß demzufolge die Eigenschaft xRx für alle x E M besitzen. Diese Eigenschaft heißt Reflexivität. 5: Eine Relation R in M heißt reflexiv genau dann, wenn xRx für alle x E M gilt. Ist hingegen xRx für kein x E M erfüllt, heißt R irreflexiv.

Download PDF sample

Rated 4.11 of 5 – based on 44 votes
Posted In CategoriesAlgebra