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By Ernst Kunz

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Aufg. 16)). Um Eindeutigkeit zu erzwingen, benotigt man eine Verscharfung des Begri s eines irreduziblen Elements. Definition: Ein Element p 2 R n f0g hei t Primelement, wenn p 2= E (R) ist und wenn fur alle a; b 2 R gilt: Aus pja b folgt pja oder pjb . 21) zu folgern. Der Beweis ist nichttrivial: Faktorielle Ringe 39 Angenommen, es gibt eine Primzahl p und Zahlen a; b 2 Z mit p - a , p - b , aber pjab . Sei p die kleinste Primzahl mit dieser Eigenschaft. Schreibe a = q p + a0 ; b = q p + b0 1 (q ; q 2 Z ; 0 < a0 < p; 0 < b0 < p) 2 1 2 Dann ist ab = (q q p + a0 q + b0 q )p + a0 b0 und es folgt pja0 b0 .

Fur zwei Zwischenkorper Z1; Z2 von L=K ist deren Kompositum Z1 Z2 de niert als der von Z1 Z2 erzeugte Teilkorper von L . a) Z1 Z2 = Z1(Z2 ) = Z2(Z1 ). b) Ist Zi =K algebraisch (i = 1; 2), so auch Z1 Z2 =K . c) Ist ni := Zi : K ] < 1 (i = 1; 2), so gilt Z1 Z2 : K ] n1 n2 . Sind n1 und n2 teilerfremd, so gilt Z1 Z2 : K ] = n1 n2 . 10) Sei L=K eine Korpererweiterung, Z ein Zwischenkorper von L=K und x 2 L . Ist Z : K ] < 1 , so ist Z (x) : K (x)] Z : K ]. 11) K sei der Erweiterungskorper von Q , der aus Q durch Adjunktion aller Nullstellen in C aller Polynome X 2 + aX + b (a; b 2 Q ) hervorgeht.

Durch h wird ein Ringhomomorphismus h : RN ! S gegeben und o ensichtlich ist j = h i . Es gibt auch nur einen Ringhomomorphismus mit dieser Eigenschaft, denn fur s 2 N mu h( s ) h( s ) = h(1) = 1, also h( s ) j (s) = 1 und h( s ) = j (s) gelten. Es folgt h( sr ) = h( r )h( s ) = j (r) j (s) . 33 erfullt, und die Existenz des Quotientenrings ist bewiesen. Unter RN kann man sich immer den gerade konstruierten Ring vorstellen. Regel: Kern(i) = fr 2 R j Beweis: Es gilt i(r) = r = 0 = 9 sr = 0g s2N nach der Gleichheitsde nition der Bruche genau dann, wenn ein s 2 N existiert mit s(r 1 0 1) = 0, also sr = 0.

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