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By H. S Hall

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Sei eine lineare Abbildung von U1 ~ ~2 mit ~(01) = 03' ~(02) = °4 • Bestimmen Sie den Rang von ~. Was kBnnen Sie daraus Uber die Dimension von U1 folgern? Welche Beziehung besteht zwischen Dim(Kern ~) und Dim U1? Geben Sie den Kern von ~ an. b) Welche Dimensionen haben U1+U 2 und U1nu 2 ? h. ~~_~_:_~. u. sein). Dies steht in Ubereinstimmung zu der Formel ~ + Rang ~. Di~ U1. 5), aus der weiter Dim(Kern Kern ~ = \0\ folgt. ~) 0, also b) Da wir uns im R3 befinden, erkennt man fur die Dimension der Verbindung U1 + U2 zunachst Dim(U 1 + U3 ) ~ 3.

A. u. ~! u. B. u. _~~ liefert A202 + ••• + An _1 0n_1 + AnOn = 0 und daraus folgt An=O und weiter Aj=O fur j=2, ••• ,n-1. Durch zyklische Vertauschung der Indizes E I n _ 1 folgt dasselbe fur die anderen (n-1)-Tupel. 1m Fall 2 spannen sowohl 01, ••• ,on_1 als auch 02, ••• ,on nach dem Austauschsatz von STEINITZ (Bd. 2) denselben UVR Un - 1 c Vn auf. B. - 23 so besitzt der Vektor { E Un-I mit { '" x 1 01 + •• '. 01 + (x2+x1a2)a2+···+(xn_1+x1an_1)on_1+x1anan • die sich im Koeffizienten von a1 von der ersten Darstellung unterscheidet; die Frage nach der Eindeutigkeit ist daher .

Surjektiv und injektiv ist. ~: Dazu muB gezeigt werden, daB jedes , E V bei der Abbildung ~ als Bild auftritt. Dies ist fUr a 0 der Fall, denn zu jedem , E V gibt es ~. = (a-I,) E V mit ~(,') = a'a- l , =;, und a-I E K existiert, da a 0 vorausgesetzt wurde. ~: Dazu muB gezeigt werden, daB aus ~('l) = ~('2) folgt 'I = '2' Dies ist hier fUr a 0 der Fall, denn aus a'l - a'2 folgt a('I-'2) = 0 und daraus wegen a 0 schlieB~ + + + + lich 'I = '2' Damit ist ~ fUr a 0 ein Isomorphismus. (1m Fall a = 0 ist ~ wohl eine lineare Abbildung, aber wegen Kern ~ = V kein Isomorphismus; im trivialen Fall a = 0 und V =10\ ist ~ linear und ein Isomorphismus ).